ch03_2_컴퓨팅사고와 문제해결

jsBae 2025. 3. 23. 19:07

03_컴퓨팅 사고력의 구성요소

여러분 지난 시간에 이어 문제해결을 위한 컴퓨팅 사고력의 구성요소에 관하여 알아보도록 하겠습니다.

컴퓨팅 사고력의 구성 요소 정리

문제해결을 위해서 일반적으로 문제가 발견되며, 이를 분석해서 목표를 명확히 하며, 이를 위해 데이터 수집과 표현을 하게 되며, 다음 이를 분해, 패턴인식, 추상화, 알고리즘을 통해 즉 컴퓨터 사고단계를 거쳐 코딩을 하게됩니다.

문제 발견 (Identify the Problem):
- 먼저 어떤 문제가 발견되어야 합니다. 이 단계에서는 문제의 본질을 이해하고 문제가 무엇인지 명확히 파악해야 합니다.
이를 분석해서 제대로 목표를 명확히 - 문제 분석 (Analyze the Problem):
- 발견된 문제를 더 자세히 분석합니다. 문제의 원인, 영향, 관련된 요소 등을 조사하여 문제를 이해하는 데 도움이 됩니다.
목표 명확화 (Define the Goal):
- 문제를 명확하게 이해한 후에는 어떤 목표를 달성하고자 하는지 정의해야 합니다. 원하는 결과물이나 해결책을 명확하게 설정합니다.
데이터 수집과 표현 (Data Collection and Representation):
- 문제 해결에 필요한 정보와 데이터를 수집하고 정리합니다.
분해 (Decomposition):
- 큰 문제를 더 작은 하위 문제로 분해합니다. 이렇게 하면 문제를 더 쉽게 다룰 수 있으며, 각 하위 문제를 독립적으로 해결할 수 있습니다.
패턴 인식 (Pattern Recognition):
- 데이터와 문제에서 패턴을 식별하고 이를 기반으로 결정을 내리거나 예측합니다. 패턴을 인식함으로써 문제를 더 잘 이해할 수 있습니다.
추상화 (Abstraction):
- 문제를 단순화하고 핵심 개념을 추출하여 문제를 더 이해하기 쉽게 만듭니다. 이로써 복잡한 문제를 해결할 수 있는 모델을 생성할 수 있습니다.
알고리즘 (Algorithm):
- 문제를 해결하기 위한 명확한 절차나 규칙을 정의합니다. 이 단계에서 알고리즘을 개발하고 문제를 해결할 방법을 계획합니다.
코딩 (Coding):
- 개발한 알고리즘을 컴퓨터 프로그래밍 언어로 구현합니다. 이러한 프로그래밍을 통해 컴퓨터가 문제를 해결할 수 있도록 합니다.
평가와 개선 (Evaluation and Improvement):
- 해결책을 평가하고 결과를 확인합니다. 문제가 제대로 해결되었는지 확인하고, 필요한 경우 해결책을 개선하거나 수정합니다.

이러한 단계를 따라가면 문제를 체계적으로 해결할 수 있으며, 컴퓨팅 사고력을 적용하여 복잡한 문제도 효과적으로 다룰 수 있습니다

특히, 이 중 분해, 패던, 추상화, 알고리즘 설계를 컴퓨터 사고 단계라고 합니다.

컴퓨팅 사고력은 분해 → 패턴 인식 → 추상화 → 알고리즘 설계의 단계를 거쳐 코딩을 통해 문제를 해결하는 방식으로 적용된다. 이러한 사고 과정은 소프트웨어 개발뿐만 아니라 실생활 문제 해결에도 중요한 역할을 한다.

1. 문제분석단계

발견된 문제를 더 자세히 분석합니다. 문제의 원인, 영향, 관련된 요소 등을 조사하여 문제를 이해하는 데 도움이 됩니다.

목표 명확화 (Define the Goal):문제를 명확하게 이해한 후에는 어떤 목표를 달성하고자 하는지 정의해야 합니다. 원하는 결과물이나 해결책을 명확하게 설정합니다

문제 분석 단계는 문제 해결을 위한 기초 작업으로, 핵심 요소를 파악하고 해결 방법을 모색하는 과정이다. 주요 목적은 다음과 같다.

문제 해결에 필요한 여러 가지 요소를 점검
- 문제를 해결하기 위해 어떤 요소가 필요한지 파악하고, 해결 가능성을 평가함.
문제의 핵심을 정확하게 분석
- 문제의 본질을 이해하고, 불필요한 요소를 제거하여 핵심 문제를 도출함.
해결 가능한 방법을 떠올릴 수 있는 바탕 마련
- 기존의 해결책과 유사한 패턴을 찾아 적용하거나 새로운 해결 방법을 구상할 수 있도록 준비함.

문제의 유형

모순이 없는 완전한 문제
- 해결 방법이 명확하며, 필요한 정보가 모두 제공된 문제.
- 예: 수학 문제, 공식이 주어진 문제.
진짜 문제(Real Problem)
- 실제 환경에서 발생하는 복잡한 문제로, 여러 요인이 얽혀 있으며 해결 방법이 다양할 수 있음.
- 예: 교통 체증 문제 해결, 에너지 절약 방안 마련.
열린 사고 문제(Open-ended Problem)
- 정해진 답이 없으며, 창의적인 사고와 다양한 접근 방식이 필요한 문제.
- 예: 미래의 도시 설계, 신기술 개발 아이디어.

문제 분석 단계는 문제의 본질을 정확히 파악하고, 해결 가능성을 검토하며, 적절한 해결 방법을 찾는 중요한 과정이다. 이를 통해 단순한 문제부터 복잡한 열린 문제까지 다양한 유형의 문제를 효과적으로 해결할 수 있다.

문제 분석 단계에서 점검해야 할 사항들

문제 해결을 효과적으로 수행하기 위해서는 문제 분석 과정에서 주요 사항을 점검하는 것이 필수적이다. 아래는 문제 분석 단계에서 반드시 고려해야 할 요소들이다.

문제가 모순 없이 완전한 것인가?
- 해결 과정에서 논리적 오류나 상충되는 조건이 없는지 확인해야 함.
문제가 실제로 존재하는 진짜 문제이며, 문제 정의가 정확한가?
- 문제의 정의가 모호하지 않고, 해결해야 할 사항이 명확하게 설정되었는지 점검.
일정한 규칙이 없는 열린 사고 문제 형태인가?
- 문제의 특성이 정형화된 유형인지, 혹은 창의적 접근이 필요한 열린 문제인지 구분해야 함.
문제의 핵심은 무엇인가?
- 문제의 본질을 파악하고, 불필요한 요소를 제거하여 핵심적인 해결 요소를 도출해야 함.
한 가지 사항에 관한 문제인지, 혹은 복합적인 요소를 포함하는 문제인가?
- 단순한 문제인지, 여러 요인이 얽힌 복잡한 문제인지 구분하여 분석해야 함.
문제가 애매하거나 불분명하지 않은가?
- 문제 정의가 구체적이고, 해결을 위한 조건이 명확하게 정리되었는지 확인해야 함.
해당 문제에 대한 유사한 해결법이 이미 존재하는가?
- 기존의 해결책이 존재한다면 이를 참고하여

문제 분석 단계에서는 문제의 본질과 해결 가능성을 정확히 평가하는 과정이 필수적이다. 이를 통해 논리적이고 체계적인 접근이 가능해지며, 효과적인 해결 전략을 수립할 수 있다.

모순이 없는 완전한 문제란?

1. 모순 없는 완전한 문제란?

문제 내에서 논리적 모순이 없고, 해결이 가능한 상태여야 함.
즉, 주어진 조건들이 일관되고, 문제 해결 과정에서 충돌이 발생하지 않아야 함.

2. 예제 문제 (양의 유산 분배 문제)

한 노인이 자신의 17마리 양을 자식 3명에게 유산으로 남김.
분배 기준:
- 첫째 자식: 1/2 (양의 절반)
- 둘째 자식: 1/3 (양의 1/3)
- 셋째 자식: 1/9 (양의 1/9)
문제점 발생:
- 17마리의 양을 위 기준으로 분배하면, 1/2+1/3+1/9=17181/2 + 1/3 + 1/9 = \frac{17}{18}
- 즉, 한 마리 부족하여 완전한 분배가 불가능함.
- 논리적 모순이 발생하여 문제를 해결할 수 없음.

3. 결론

모순이 있는 문제는 완전한 문제가 될 수 없음.
문제를 해결하려면 추가 조건이 필요하거나, 문제의 재정의가 필요함.
완전한 문제는 논리적 모순 없이 해결책이 존재하는 문제여야 함.

진짜문제

문제의 진짜 여부를 확인하는 것은 시간과 노력을 아끼고 효율적으로 문제 해결을 진행하기 위해 중요한 단계입니다. 문제가 모순이나 부정확하게 기술되었을 경우, 이를 해결하기 위해 추가 정보를 수집하거나 문제를 다시 정의하면 될 수 있습니다.

진짜 문제의 정의
- 제대로 정의된 문제로, 올바른 해답이 나올 수 있는 문제를 의미함.
- 해결할 수 있는 논리적인 구조를 가지고 있어야 함.
예제: 연금술 문제
- 중세 시대 연금술사들이 금속을 금으로 변환하려고 연구한 사례.
- 과학적으로 불가능한 문제이며, 원래부터 해결될 수 없는 문제.
- 즉, 애초에 해결 가능한 문제로 정의되지 않았으므로 진짜 문제가 아님.
결론
- 문제를 해결하기 전에 해당 문제가 실제로 해결 가능한 진짜 문제인지 점검하는 과정이 필수적임.
- 해결 불가능한 문제를 연구하는 것은 시간과 자원의 낭비가 될 수 있음.
- 따라서, 문제를 정의하는 과정에서 실현 가능성과 논리적 타당성을 고려하는 것이 중요함.

열린사고문제

일정한 규칙이 없는 열린사고 형태의 문제인가를 확인합니다.

열린 사고는 새로운 아이디어와 관점을 수용하고, 다양한 가능성을 탐구하며, 고정된 사고 패턴에서 벗어나는 것을 의미합니다.
아래 어벤전스 영화처럼 히어로들은 상상력 넘치는 힘과 기술을 사용하여 문제를 해결하죠, 고정된 사고 패턴을 깨는 것은 문제 해결에 있어서 창의성과 효율성을 높일 수 있는 핵심적인 요소

열린 사고 문제란?
- 창의적이고 열린 사고를 바탕으로 해결해야 하는 문제.
- 하나의 정해진 답이 존재하지 않을 수도 있으며, 여러 개의 해결책이 가능할 수 있음.
- 상상의 나래를 펼쳐서 해결 가능성을 탐색할 수도 있음.
열린 사고 문제의 특징
- 문제의 해결 방법이 여러 가지일 수 있음.
- 명확한 정답이 없거나, 상황에 따라 해결 방법이 달라질 수도 있음.
- 창의적 사고와 지속적인 탐구가 중요한 역할을 함.
예제: 좋은 세상을 만들려면?
- "좋은 세상을 만들기 위한 방법은?"이라는 질문에 단 하나의 정답이 존재하지 않음.
- 각 개인이나 집단의 가치관, 목표에 따라 다양한 해결 방법이 가능함.
- 사회적, 윤리적, 기술적 관점에서 서로 다른 접근 방식이 존재할 수 있음.
- 이미지 속 '어벤져스'와 '타노스'는 각자의 방식으로 세상을 바꾸려 하지만, 해결책에 대한 시각은 다를 수 있음.
결론
- 열린 사고 문제는 고정된 정답이 아닌 다양한 해결 가능성을 탐색하는 문제로, 창의적인 사고와 문제 해결 능력을 필요로 함.
- 현실 세계에서는 복잡한 사회 문제, 윤리적 딜레마, 혁신적인 기술 개발 등이 열린 사고 문제의 대표적인 예시가 될 수 있음.
- 열린 사고 문제를 해결하려면, 다양한 관점을 고려하고 창의적인 해결 방안을 모색하는 것이 중요함.

데이터 수집과 표현 (Data Collection and Representation):

문제 해결에 필요한 정보와 데이터를 수집하고 정리합니다. 데이터를 표현하고 구조화하여 분석에 활용할 수 있도록 준비합니다.

데이터 수집

데이터 수집의 정의
- 문제 해결을 위해 필요한 지식을 찾고 분석하는 단계.
- 데이터를 활용하여 문제를 이해하고 해결 방법을 도출하는 과정.
데이터 수집 과정
- 분석: 자료의 의미를 이해하고, 데이터를 통해 특징을 발견하거나 패턴을 찾아 일반화하는 과정.
- 흐름과 동향 파악: 데이터가 보여주는 트렌드나 관계를 분석하여 유용한 정보를 도출함.
데이터의 종류
- 수집된 데이터: 직접 관찰, 설문조사, 실험 등을 통해 얻은 데이터.
- 주어진 데이터: 외부 기관, 연구 보고서, 기존 자료에서 제공된 데이터.
- 검색 엔진 활용: 인터넷 및 데이터베이스를 활용하여 필요한 정보를 찾는 방법.
결론
- 데이터 수집은 문제 해결을 위한 핵심 과정으로, 신뢰성 있는 데이터 확보와 분석 능력이 중요함.
- 수집된 데이터를 통해 문제 해결에 대한 방향을 설정하고, 추론 및 의사 결정을 위한 기초 자료로 활용할 수 있음.

데이터 표현

데이터 표현의 개념
- 데이터가 가진 관계나 특징을 분석하고, 적절한 방식으로 도식화 및 시각화하는 과정.
- 데이터를 이해하고 활용하기 쉽게 정리, 변환, 시각적 표현을 수행.
데이터 표현의 주요 과정
- 데이터 활용 목적에 따른 분류 및 저장
  - 데이터를 용도에 맞게 카테고리별로 정리하고 보관.
- 데이터 정제
  - 불필요한 정보를 제거하고, 분석하기 용이하도록 데이터를 정리.
데이터 표현 방법
- 문서 기반 표현 (Word, Excel)
  - 텍스트, 표, 차트를 활용하여 문서화.
- 시각적 표현 (차트, 다이어그램, 네트워크 그래프 등)
  - 관계와 흐름을 쉽게 이해할 수 있도록 시각적으로 변환.

데이터를 효과적으로 표현하면 정보를 보다 쉽게 분석하고 활용할 수 있음. 시각화를 활용하면 패턴을 발견하고 데이터의 의미를 직관적으로 이해하는 데 도움이 됨.

데이터 구조화

데이터 구조화의 개념
- 데이터를 효율적으로 표현, 저장, 처리할 수 있도록 정리하는 과정.
- 무질서한 데이터를 체계적으로 분류하고 조직화하여 활용도를 높임.
데이터 구조화의 목적
- 정보 검색 및 활용을 용이하게 함.
- 데이터 저장 공간을 최적화하고, 분석 속도를 향상시킴.
- 데이터 중복을 방지하고 일관성을 유지함.

데이터 구조화의 종류

데이터 구조는 데이터를 효율적으로 저장하고 활용하기 위한 방식으로, 크게 네 가지 종류로 분류된다.

단순 구조 (Primitive Structure)
- 하나의 단일 데이터 값을 저장하는 구조.
- 예: 정수, 실수, 문자 등 단일 데이터
- 예시: 1, 1.0, "홍길동"
선형 구조 (Linear Structure)
- 데이터가 순차적으로 저장되며, 한 방향으로 흐름이 존재하는 구조.
- 예시: 배열(Array), 연결 리스트(Linked List), 스택(Stack), 큐(Queue)
비선형 구조 (Non-Linear Structure)
- 데이터 간의 관계가 계층적이거나 복잡한 형태를 가지는 구조.
- 예시: 트리(Tree), 그래프(Graph)
테이블 구조 (Table Structure)
- 데이터를 행(Row)과 열(Column) 형태로 구성하여 저장하는 구조.
- 예시: 데이터베이스 테이블(SQL), 스프레드시트

이렇게 다양한 데이터 구조화 방법은 데이터를 효율적으로 저장, 검색, 처리하고 다양한 종류의 문제에 대한 해결책을 개발하는 데 사용됩니다. 데이터의 특성과 문제의 요구 사항에 따라 적절한 데이터 구조를 선택하고 사용해야 합니다.

컴퓨팅 사고의 구성 요소: 분해(Decomposition)

문제 분해(Decomposition)는 큰 문제를 더 작은 하위 문제로 나누는 과정을 의미한다.

복잡한 문제를 단순화하여 해결 가능성을 높이고, 각 하위 문제를 독립적으로 해결할 수 있도록 한다.
작은 문제로 나누면 각 문제의 핵심이 명확해지고 해결이 용이해짐.
이를 통해 각 하위 문제를 해결한 후 이를 결합하여 전체 문제를 해결하는 방식이 가능함.

밀러의 법칙(Miller’s Law)와 문제 분해

밀러의 법칙(Miller’s Law)에 따르면, 인간이 한 번에 기억할 수 있는 정보의 최대 개수를 기억 범위(Memory Span)라고 하며, 대부분 7±2개의 정보를 즉각적으로 기억할 수 있음.
그러나 중요한 것은 숫자가 아니라, 의미 단위(Chunking)로 묶인 정보를 더 잘 기억한다는 사실임.
예제: 전화번호 형식
- "01012345678" → 기억하기 어려움
- "010-1234-5678" → 의미 있는 덩어리(Chunk)로 묶으면 기억하기 쉬움

➡ 이는 문제를 작은 단위로 분해하는 것이 인간이 문제를 이해하고 해결하는 데 효과적임을 시사함.

다시말해

문제를 분해하는 것은 복잡한 작업을 더 작은 관리 가능한 부분으로 나누고, 이해하기 쉬운 수준으로 단순화하는 과정이다. 이를 통해 문제 해결을 보다 체계적이고 효율적으로 수행할 수 있다.

예제: 한식 식사 준비하기

한식 식사를 준비하는 과정을 문제 분해하여 살펴보면 다음과 같이 구분할 수 있다.

요리 종류에 따른 분해 (병렬 처리 가능)
- 밥
- 국
- 반찬 (예: 나물, 김치, 전 등)
각 요리의 세부 단계로 분해
- 밥 짓기
  - 쌀 씻기
  - 쌀 불리기
  - 밥 짓기
- 국 끓이기
  - 재료 손질
  - 육수 만들기
  - 국 끓이기
- 반찬 만들기
  - 재료 준비
  - 조리 과정 수행

순차 처리 vs 병렬 처리

순차 처리(Sequential Processing):
- 한 가지 작업이 끝난 후 다음 작업을 수행.
- 예: 쌀을 씻고 나서 밥을 짓는 경우
병렬 처리(Parallel Processing):
- 여러 작업을 동시에 진행하여 시간 효율성을 높임.
- 예: 쌀을 씻는 동안 국을 끓이거나 반찬을 준비하는 경우

따라서, 문제를 체계적으로 분해하는 능력은 효율적인 문제 해결과 논리적 사고의 핵심 요소이다.

문제 분해 과정: 분할과 정복(Divide and Conquer) 정리

1. 분할(Divide)

하나의 큰 문제를 해결 가능한 작은 문제로 나누는 과정
보통 2개 이상의 하위 문제로 분할됨.
예: 정렬 알고리즘(병합 정렬, 퀵 정렬)에서 데이터를 반으로 나누는 과정.

2. 정복(Conquer)

나눈 작은 문제들을 더 작은 문제로 나누거나 해결하는 과정.
나누어진 문제들이 충분히 작아지면 직접 해결하거나 특정 알고리즘을 적용하여 해결.

3. 합치기(Combine)

해결된 작은 문제들을 다시 조합하여 최종적인 해결책을 구성.
예: 병합 정렬에서 작은 배열을 정렬한 후 병합하는 단계.

이러한 접근 방식은 복잡한 문제를 더 작고 관리 가능한 부분 문제로 분해하고, 각 부분 문제를 효율적으로 해결한 다음 이를 통합하여 전체 문제를 해결하는데 사용됩니다. 이는 알고리즘 설계, 프로그래밍, 그리고 문제 해결에 널리 적용되며 효율적인 해결책을 찾는 데 도움을 줍니다.

예제: 병합 정렬(Merge Sort) 적용

분할(Divide): 리스트를 반으로 나누어 작은 리스트로 분해.
정복(Conquer): 작은 리스트들을 정렬.
합치기(Combine): 정렬된 리스트들을 다시 합쳐 최종 정렬된 리스트 완성.

분할 정복 알고리즘(Divide and Conquer) 정리

1. 분할(Divide)

문제를 나누어 비슷한 유형의 작은 부분 문제로 나눔.
나눈 부분 문제가 2개 이상으로 다시 분할 가능하면 계속해서 분할.
부분 문제가 충분히 작아질 때까지 나누거나, 분할이 불가능한 단위까지 분해함.

2. 정복(Conquer)

가장 작은 단위의 부분 문제를 해결함.
해결된 부분 문제를 반복적으로 적용하여 전체 문제의 답을 찾음.
동일한 해결 방법을 재귀적으로 적용하는 방식이 일반적임.

분할 정복의 과정 예시

분할 단계
- 큰 문제를 작은 부분 문제로 나누는 과정.
- 예: 병합 정렬(Merge Sort)에서 배열을 반씩 나누는 과정.
정복 단계
- 분할된 부분 문제들을 개별적으로 해결.
- 예: 나누어진 배열을 각각 정렬하는 과정.
결합 단계(Combine)
- 해결된 부분 문제들을 합쳐서 최종적인 해결책을 도출.
- 예: 정렬된 배열을 병합하여 전체 정렬을 완성하는 과정.

대표적인 분할 정복 알고리즘 예시

병합 정렬(Merge Sort)
퀵 정렬(Quick Sort)
이진 탐색(Binary Search)
최대 최소 문제 해결(Find Max/Min using Divide and Conquer)

이진 탐색(Binary Search)

1. 이진 탐색이란?

정렬된 리스트에서 중앙 값을 기준으로 탐색 범위를 절반씩 줄여가며 목표 값을 찾는 알고리즘.
탐색 범위를 줄여 시간 복잡도를 크게 줄일 수 있음.
시간 복잡도: O(log n) → 빠른 검색이 가능.

패턴 인식(Pattern Recognition)

우선 아래 이미지를 보고 패턴을 살편 볼까요? 즉 유사성을 찾아 볼까요?

주어진 문제에서 기존의 도형 패턴을 분석하고, 규칙을 찾아 적절한 도형을 선택하는 문제.
주어진 도형 패턴:
- 첫 번째 행: 원 안에 삼각형
- 두 번째 행: 사각형 안에 어떤 도형이 들어가야 함.
패턴 분석:
- 원 안에 삼각형 → 삼각형 안에 원
- 사각형 안에 ○(원) → 사각형 안에 □(정사각형)으로 대칭적 패턴 형성.
정답: (4)번 도형 (사각형 안에 원)

1. 패턴 인식이란?

반복되는 규칙이나 특정한 관계를 발견하여 문제를 해결하는 과정.
패턴을 분석하면 복잡한 문제를 쉽게 해결할 수 있으며, 예측 및 자동화에 유용함.

패턴이란?

pattern 이란>? 어떤 문제에서 공통적인 유사성이나 특징. 개별적인 문제 내 또는 서로 다른 문제들 사이에도 존재 가능 합니다.

컴퓨팅 사고의 패턴 인식(Pattern Recognition)은
정보를 분석하고 이해하는 과정에서 특정 패턴을 감지하고 추출하는 능력을 나타냅니다.
이것은 컴퓨터 과학, 인공 지능, 데이터 과학 및 다양한 분야에서 중요한 개념이며, 사람과 기계 모두에게 중요한 역할을 합니다.

패턴 인식의 활용 예시

컴퓨터 비전: 이미지 및 영상에서 객체를 인식하는 기술.
자연어 처리: 텍스트에서 특정 패턴을 찾아 의미 분석.
데이터 분석: 주어진 데이터에서 규칙성을 찾아 예측 모델 구축.

다음음 알브레이트 뒤러 작의 멜랑콜리아라는 삽화입니다.

알브레히트 뒤러(Albrecht Dürer)는 15세기 독일의 화가, 그래픽 아티스트 및 패턴 인식의 선구자 중 하나로 인식됩니다. 그의 작품과 연구를 통해 다양한 분야에서 패턴 인식에 대한 중요한 기여를 하였습니다.

위 그림의 알브레히트 뒤러의 마방진은 4x4 크기의 격자로 이루어져 있으며, 각 격자 셀에는 1부터 16까지의 서로 다른 정수가 들어 있습니다. 이 마방진은 다음과 같은 특징을 가지고 있습니다:

수평, 수직, 대각선의 합이 모두 같다: 모든 행, 열 및 대각선의 합은 동일한 숫자인 34입니다. 이러한 성질은 마방진의 주요 특징 중 하나로 각 행과 열, 대각선이 동일한 합을 가지는 것이 특징입니다.
1부터 16까지의 서로 다른 정수 사용: 마방진의 각 셀에는 1부터 16까지의 서로 다른 정수가 한 번씩 나타납니다. 이것은 중복된 숫자가 없고 모든 숫자가 사용되었다는 것을 의미합니다.

알브레히트 뒤러의 작품과 연구는 그림, 디자인, 패턴 인식 및 비례의 연구에 영향을 미치고, 그의 접근 방식은 예술과 과학 분야에서 오늘날까지 사용되고 연구되고 있습니다.

마방진

마방진은 주로 수학적인 연구나 예술 작품에서 사용되는 패턴 중 하나로, 위에서 언급한 알브레히트 뒤러의 마방진과 같이 특별한 행렬 형태를 갖는 수학적인 구조입니다.

이렇듯 패턴인식을 다시 정리하면

피보나치 수열(Fibonacci Sequence)은 수학적으로 매우 재미있고 유용한 수열 중 하나입니다.
이 수열은 계속해서 다음 숫자를 만들 때 이전 두 숫자를 더하여 생성됩니다.

1. 피보나치 수열이란?

각 항이 앞의 두 항의 합으로 정의되는 수열.
기본적으로 다음과 같은 점화식(재귀 관계)을 가짐: F(n)=F(n−1)+F(n−2)F(n) = F(n-1) + F(n-2)
초깃값: F(0)=0,F(1)=1F(0) = 0, \quad F(1) = 1

이런 식으로 계속해서 수열을 확장할 수 있습니다. 피보나치 수열의 일반적인 정의는 다음과 같습니다:

F(0) = 0
F(1) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n ≥ 2)

피보나치 수열은 다양한 자연 현상 및 수학적 문제에서 발견되며, 컴퓨터 과학, 알고리즘, 프로그래밍, 금융 등 다양한 분야에서 활용됩니다.

2. 피보나치 수열 예제

첫 번째 몇 개 항: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...
예를 들어, F(5) = F(4) + F(3) = 3 + 2 = 5

피보나치 수열과 황금 비율(Golden Ratio)은
수학적으로 매우 밀접하게 관련되어 있습니다. 황금 비율은 피보나치 수열의 연속적인 항들을 이용하여 근사적으로 계산할 수 있는 특별한 비율입니다.

황금 비율은 다음과 같이 정의됩니다:

두 수 a와 b가 있을 때, a와 (a + b)의 비율이 b와 a의 비율과 같다면, 이를 황금 비율이라고 합니다.
황금 비율은 다음과 같은 수식으로 표현됩니다: (a + b) / a = a / b = φ (피)

피보나치 수열에서 황금 비율은 다음과 같이 나타납니다:

피보나치 수열의 연속적인 항을 나타내는 F(n)와 F(n+1)을 고려합니다.
이 두 항의 비율을 계산하면, F(n+1) / F(n)은 황금 비율인 φ에 근사합니다.
즉, F(n+1) / F(n) ≈ φ

황금 비율은 약 1.6180339887로, 이 비율은 무한 소수로 이어지는 무리수입니다. 황금 비율은 자연 현상, 미술, 건축, 디자인, 금융 등 다양한 분야에서 발견되며, 인간의 미적 감각과 조화를 표현하는 데 사용됩니다. 황금 비율은 예술 작품이나 건축물에서 조화롭고 아름다운 비율을 만들 때 종종 활용됩니다.

피보나치 수열의 특징 중 하나는 두 연속적인 항의 비율이 황금 비율에 점점 더 가까워진다는 것입니다. 즉, n이 커질수록 F(n+1) / F(n)은 황금 비율에 더 가까워집니다. 이러한 특징은 피보나치 수열과 황금 비율의 관련성을 강화시킵니다.

패턴 인식과 지혜

패턴 인식(Pattern Recognition)이란?

지혜를 바탕으로 반복되는 규칙을 발견하고, 이를 통해 미래를 예측하는 과정.
패턴을 인식하면 논리적으로 사고하고 문제 해결 능력을 향상시킬 수 있음.

패턴 인식의 특징

논리적·합리적 방법으로 패턴을 분석하여 새로운 진리를 발견.
직관적·감각적 방법으로 시각적 패턴을 형상화하여 더 쉽게 이해.
과거의 데이터와 경험을 바탕으로 미래를 예측하는 능력.

패턴 인식은 단순한 데이터 분석을 넘어 지혜로운 사고로 발전할 수 있으며, 반복되는 규칙과 구조를 발견함으로써 새로운 해결책을 도출하는 중요한 과정이다. 특히 컴퓨팅 사고에서 패턴 인식은 문제 해결과 알고리즘 설계의 핵심 요소로 작용하며, 다양한 문제를 효율적으로 분석하고 최적의 해결 방법을 찾는 데 기여한다. 따라서 패턴을 이해하고 이를 활용하는 능력은 창의적 사고와 논리적 문제 해결력을 키우는 필수적인 요소이며, 이를 통해 복잡한 문제를 단순화하고 예측 가능한 해결 방안을 마련할 수 있다.

추상화

추상(抽象)의 의미
- '추(抽)': 법을 뽑아낸다.
- '상(象)': 끝, 모양, 형상.
- 즉, 형상을 뽑아내는 것을 의미한다.
추상화의 과정
- 여러 개념이나 사물에서 공통된 특성 또는 속성을 추출하여 파악하는 과정이다.
추상의 의미(위키백과 인용)
- 사물을 정확히 이해하기 위해 특정한 측면만 가려내어 포착하는 것.
- 어떤 일면을 추상한다는 것은 다른 측면을 버리는 것과 같다.
- 이것을 '사상(思像)'이라고도 한다.

컴퓨팅 사고에서의 추상화란?

추상화의 의미
- 복잡한 문제를 단순화하여 중요한 특징만 남기는 것
- 불필요한 특징을 제거하는 것
- 핵심 특징을 일반적인 개념으로 만들어가는 과정
추상화의 과정
- 문제를 단순화하여 불필요한 부분을 제거한다.
- 핵심 요소, 개념 또는 기능을 **간추려 일반화된 모델(generalized model)**을 만든다.
비유적 표현 (이미지 설명)
- 여러 가지 문제와 특징(여러 색의 화살표)이 **깔때기(funnel)**를 통해 필터링된다.
- 필터를 통과한 후 핵심 특징만 남게 됨.

즉, 추상화는 문제를 해결하는 과정에서 중요하지 않은 요소를 제거하고 본질적인 요소만 남기는 과정이다. 컴퓨터 과학에서 알고리즘 설계, 프로그래밍, 머신러닝 등의 영역에서 필수적인 개념이다.

예를 들어

지하철 노선도 추상화 예시

원본: 지하철 노선도 + 지리적 정보 포함
추상화: 불필요한 지리적 요소 제거, 핵심 노선만 표현
실제 지형과 정확한 거리는 중요하지 않음 → 노선 간 연결 관계만 강조

지하철 노선도처럼 핵심 정보만 남기고 단순화하면 사용자가 빠르게 이해할 수 있음.
지도뿐만 아니라 컴퓨터 알고리즘, 데이터 분석, 프로그래밍에서도 추상화는 핵심 개념.
예: 프로그래밍에서 함수 작성 → 세부 구현(불필요한 요소) 숨기고 핵심 기능만 제공.

즉, 추상화는 복잡한 문제를 쉽게 해결하기 위한 필수적인 과정이다. 😊

추상화를 하는 이유?

문제를 쉽게 표현하여 해결책 설계 가능.
패턴 인식(pattern recognition)을 통해 유사한 문제 해결에 응용 가능.
여러 문제를 해결할 때 추상화 기술을 활용하면 효율성 증가.

추상화 과정 (오른쪽 흐름도)

특징 이해
핵심 요소 추출
문제 추상화
문제 간결화
이해가 쉬움
효과적인 해결 가능

이 과정을 통해 복잡한 문제를 단순하게 해결할 수 있다.

일상에서의 추상화 예

도로 안내 표지판
- 복잡한 도로 상황을 단순한 그림과 기호로 표현.
- 예: 낙석도로, 도로공사 중, 자전거 통행 금지, 보행자 통행 금지 등.
- 누구나 빠르게 이해하고 즉시 행동할 수 있도록 설계됨.
지하철 배려석 표지판
- 임산부, 장애인, 노약자 등을 위한 좌석을 직관적으로 표현.
- 자세한 설명 없이 그림만 보고도 의미를 쉽게 파악 가능.
추상화의 역할
- 필요한 정보만 남기고 단순화하여 전달.
- 누구나 빠르게 인식하고 이해할 수 있도록 설계됨.
- 일관된 패턴과 상징(아이콘, 색상 등)을 사용하여 정보 전달 효율성 향상.

추상화 과정에서 사용하는 세 가지 방법

특징 추출 방법 (Feature Extraction)
- 여러 가지 단어, 문장, 그림 등에서 공통된 특징이나 차이점을 찾아내는 방법.
- 예: AI가 이미지에서 특정 패턴(예: 얼굴, 문자 등)을 추출하는 과정.
- 데이터 분석, 머신러닝에서 핵심적인 과정.
관계 추론 방법 (Pattern Recognition & Inference)
- 주어진 문제에서 일정한 규칙을 찾아 일반화하는 것.
- 예: "모든 짝수는 2의 배수이다." → 짝수의 규칙을 발견하고 적용.
- 알고리즘 설계, 논리적 사고 훈련에 활용.
일반화 방법 (Generalization)
- 여러 사실에서 공통된 특징을 추출하여 일반적인 법칙을 만드는 과정.
- 예: "모든 삼각형의 내각의 합은 180도이다."
- 프로그래밍, 과학적 법칙 발견, 데이터 마이닝에서 필수적인 개념.

이 세 가지 방법은 컴퓨터 과학뿐만 아니라 문제 해결, 논리적 사고, 패턴 분석, 데이터 과학에서 핵심적인 역할을 한다.
즉, 복잡한 문제를 해결할 때 공통 요소를 찾아내고, 규칙을 발견하여, 이를 일반화하는 것이 추상화의 핵심 과정이다!

*특징추출 방법(Feature Extraction)

특징추출 방법이란?
- 여러 가지 단어, 문장, 그림에서 공통된 특징이나 차이점을 찾아내는 방법.
- 복잡한 데이터를 단순화하여 핵심적인 요소만 남기는 과정.
예시 1: 새의 특징 추출
- 다양한 종류의 새가 존재하지만, 모든 새에게 공통된 특징은 부리, 날개, 다리이다.
- 따라서 부리, 날개, 다리라는 핵심 요소를 추출하여 '새'를 간단하게 표현할 수 있음.
- 개별적인 차이점(색, 크기, 서식지 등)은 생략하고 본질적인 특징만 남김.
예시 2: 계절의 특징 추출
- 봄, 여름, 가을, 겨울은 개별적인 속성이 있지만, 모두 "계절"이라는 공통된 개념으로 묶을 수 있음.
- 즉, 계절의 개념을 추출하여 일반화하는 과정.

오일러 공식(Euler's Formula)이란?

오일러 공식은 원을 그리는 공식이라고 생각하면 쉽다.

eixe^{ix}는 복소수 평면에서 회전하는 과정을 의미한다.
삼각함수(cos⁡x\cos x와 sin⁡x\sin x)는 원 위의 좌표를 나타낸다.

즉, eixe^{ix}는 반지름이 1인 원을 따라 회전하는 점을 표현하는 것이다.

2. 가장 아름다운 경우: 오일러의 등식

오일러 공식을 이용하면 다음과 같은 유명한 등식이 나온다:

eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0

이 공식이 특별한 이유는 수학에서 가장 중요한 다섯 개의 숫자가 하나의 방정식 안에 있기 때문이다:

ee (자연로그의 밑)
ii (허수 단위)
π\pi (원주율)
1 (곱셈의 항등원)
0 (덧셈의 항등원)

이것은 마치 "수학의 마법" 같은 공식이다!

평면 그래프 :
- 그래프를 평면에 그릴때, 어떤 연결선도 노드가 아닌곳에서 교차하지 않도록 그릴수 있는 그래프
- v - e + f = 1

점선면,

1. 4 - 6 + 3 = 1 평면그래프

2. 4 - 6 + 3 =1

3. 4 - 6 + 4 = 2 (구와 연결상태가 다면체)

4. 4 - 5 + 1= 0 (튜브)

도형 1: 정사각형 안에 대각선이 그려져 있으며, 한 쪽에 원호가 그려져 있다.
도형 2: 정사각형 내부에 대각선이 그려져 있고, 마찬가지로 한쪽에 원호가 그려져 있다.
도형 3: 삼각형 모양으로 내부에도 삼각형이 존재하며, 원호는 없다.
도형 4: 정사각형 모양에 대각선이 그려져 있고, 한쪽에 원호가 있다.

차이점

1, 2, 4번 도형은 모두 정사각형을 기본 모양으로 하고 있으며, 원호가 포함되어 있다. 반면, 3번 도형은 삼각형을 기본으로 하고 있으며, 원호가 없다.

결론

3번 도형이 나머지와 다른 도형이다.

이 네 개의 도형 중에서 각각의 도형은 특정한 규칙을 따르고 있을 것입니다. 도형 (1)에서 (4)까지 보이는 패턴을 분석하여, 어느 하나가 다른 세 개와 다른지 알아내야 합니다.

(1) 도형은 사각형 내에 대각선이 그려져 있고, 일부분이 원의 호로 이루어져 있습니다. (2) 도형은 사각형 내에 대각선이 그려져 있고, 한 부분에 화살표가 있으며, 일부분이 원의 호로 이루어져 있습니다. (3) 도형은 삼각형 내에 중심에서 각 꼭짓점으로 선이 그려져 있습니다. (4) 도형은 사각형과 일부분이 원의 호로 이루어져 있고, 한 모서리를 따라 선이 그려져 있습니다.

분석해보면, 도형 (1), (2), (4)는 모두 일부분이 원의 호를 포함하고 있고 사각형의 형태를 하고 있습니다. 반면, 도형 (3)은 삼각형이며 원의 호가 포함되어 있지 않습니다. 따라서 도형 (3)이 다른 세 도형과 다릅니다.

관계를 추론해봐야겠습니다.

5-3 = 2, 5+3 = 8 28

6 - 2 = 4, 6+2 =8 48

5-4 = 1, 5+4 =9, 19

9 -1 = 8, 9+1 = 0 80

4, 3, 3 12 1+2 = 3

4, 4, 7, 16 1+6 = 7

7,2,5, 14 1+4 =5

21 2 + 1 = 3

추상화는 컴퓨팅 사고력의 핵심 요소로, 복잡한 문제를 더 단순한 형태로 표현하여 해결을 용이하게 만드는 과정이다. 이를 통해 문제 해결, 코드의 재사용성, 커뮤니케이션, 모듈화, 확장성, 논리적 사고력이 향상된다.

추상화의 주요 이점

문제 분해
- 복잡한 문제를 작은 부분으로 나누어 해결이 쉬워짐.
재사용성 증가
- 일반적인 해결책을 추상화하면 다른 문제에도 활용 가능.
- 프로그래밍에서 코드의 재사용성을 높이고 효율성을 증가시킴.
쉬운 이해와 커뮤니케이션
- 복잡한 개념을 간단하게 표현하여 협업과 소통이 원활해짐.
- 특히 팀 프로젝트나 대규모 소프트웨어 개발에서 필수적.
모듈화와 확장성
- 시스템을 독립적인 모듈로 설계하여 유지보수 용이.
- 변경이 필요할 때 전체 시스템을 수정하지 않고 개별 모듈만 수정 가능.
효율적인 문제 해결
- 불필요한 요소를 제거하고 핵심적인 부분만 집중적으로 해결.
- 문제의 본질을 이해하는 능력이 향상됨.
논리적 사고와 분석 능력 향상
- 문제를 논리적으로 분석하고, 핵심 개념을 파악하는 능력을 키움.
- 다양한 직무(개발, 데이터 분석, 경영, 디자인 등)에서 유용한 역량.

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